Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) χρησιμοποιούνται ευρύτατα σαν βασικά μαθηματικά μοντέλα για τη μελέτη μιας πληθώρας φυσικών προβλημάτων εδώ και δεκαετίες. Σήμερα, σε πολλά προβλήματα επιστημονικών και τεχνολογικών εφαρμογών απαιτείται η χρήση σύνθετων ΜΔΕ στις οποίες οι κλασικές μέθοδοι επίλυσης δεν είναι ιδιαίτερα αποτελεσματικές.
Στο παρόν έργο, αναφερόμενοι κυρίως σε προβλήματα εφαρμογών που χαρακτηρίζονται από την ύπαρξη-αλληλεπίδραση ετερογενών υλικών (multiphysics, multidomain), οι ΜΔΕ που χρησιμοποιούνται για την μοντελοποίηση τους είναι ελλειπτικού ή παραβολικού τύπου και χαρακτηρίζονται για παράδειγμα από την ύπαρξη ασυνεχών συντελεστών στα εσωτερικά σύνορα αλληλεπίδρασης των ετερογενών υλικών, δηλαδή στα σημεία διεπαφών (interfaces). Αυτό συνεπάγεται την ασυνέχεια της λύσης της ΜΔΕ, ή/και των παραγώγων της. Παραδείγματα τέτοιων προβλημάτων, τα οποία συνιστούν και την πρόκληση της προτεινόμενης έρευνας, προέρχονται από τις εξής δύο σημαντικής σπουδαιότητας και πολυπλοκότητας εφαρμογές από τους χώρους της Ιατρικής και της Περιβαλλοντικής Μηχανικής:
Η μελέτη για την αντιμετώπισή των παραπάνω προβλημάτων συνιστά σοβαρή πρόκληση για ολόκληρη την επιστημονική κοινότητα, δεδομένης της ευαισθησίας τους και της ολοένα και αυξανόμενης προσοχής που λαμβάνουν από τη σύγχρονη κοινωνία. Υπό το πρίσμα αυτό γίνεται άμεσα αντιληπτή η σημασία της ακρίβειας των υπολογιζόμενων μεγεθών αλλά και η ταχύτητα υπολογισμού τους.
Για την αποτελεσματική επίλυση τέτοιων προβλημάτων απαιτείται είτε η προσαρμογή γνωστών αριθμητικών ή αναλυτικών μεθόδων επίλυσης ΜΔΕ, ώστε να προσεγγίζουν ρεαλιστικά την λύση των αντίστοιχων προβλημάτων, είτε η ανάπτυξη και μελέτη καινοτόμων μεθόδων, οι οποίες να λαμβάνουν υπόψη σε υψηλότερο επίπεδο μοντελοποίησης τις ιδιαιτερότητες και πολυπλοκότητες του προβλήματος. Παράλληλα, τα σύγχρονα υπολογιστικά συστήματα δίνουν νέες ευκαιρίες για την επίλυση πολύπλοκων προβλημάτων και απαιτείται ενδελεχής μελέτη για την μέγιστη αξιοποίηση των δυνατοτήτων τους.
Με την ολοκλήρωση του έργου, επιδίωξη είναι να έχει δημιουργηθεί μια πλατφόρμα μελέτης σύνθετων (multiphysics, multidomain) προβλημάτων όπως τα προαναφερόμενα, μέσα στην οποία θα λαμβάνουν χώρα μεγάλης κλίμακας και πολυπλοκότητας προσομοιώσεις, οι οποίες απαιτούν την συνεργασία και ενοποίηση φυσικών εννοιών, μαθηματικών μεθόδων επίλυσης, μεθόδων διακριτοποίησης, μεθόδων επίλυσης αλγεβρικών συστημάτων, λογισμικού και υπολογιστικών αρχιτεκτονικών. Απαραίτητη προϋπόθεση για τη δημιουργία της πλατφόρμας αυτής αποτελεί η συντονισμένη διεπιστημονική ερευνητική δραστηριότητα με στόχο την ανάπτυξη υψηλής ακριβείας, πιστότητας και αποδοτικότητας μεθόδων επίλυσης των εν λόγω προβλημάτων, την υλοποίησή τους σε μορφή λογισμικού και την εφαρμογή τους σε σύγχρονα υπολογιστικά συστήματα.
