Οι μέθοδοι Monte Carlo έχουν την ικανότητα, εκτελώντας απλές διαδικασίες στατιστικής δειγματοληψίας, να μας δίνουν προσεγγιστικές λύσεις σε μια πληθώρα μαθηματικών προβλημάτων ποικίλης μορφής, χαρακτηριστικών και ιδιαιτεροτήτων.
Έχει ήδη περάσει ένας αιώνας από την ανακάλυψη μεθόδων οι οποίες βασιζόμενες σε έννοιες και πρακτικές Monte Carlo υπολογίζουν προσεγγιστικές λύσεις προβλημάτων στα οποία εμπλέκονται Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους ή Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ). Οι εν λόγω μέθοδοι παράγουν ακολουθίες τυχαίων αριθμών και παρατηρώντας συγκεκριμένα από τα χαρακτηριστικά και τις συμπεριφορές τους έχουν την δυνατότητα να υπολογίσουν προσεγγίσεις λύσεων των ΔΕΜΠ.
Συγκεκριμένα, ο Rayleigh ήταν ο πρώτος ο οποίος μελέτησε την σχέση μεταξύ στοχαστικών διαδικασιών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων, ακολουθούμενος από τον Courant ο οποίος ήταν ο πρώτος που πρότεινε στοχαστικές αριθμητικές διαδικασίες για την λύση ΔΕΜΠ ελλειπτικού τύπου, ενώ οι Metropolis και Ulman ήταν οι πρώτοι που συνέδεσαν την στοχαστικού τύπου αυτή προσέγγιση με ένα όνομα το οποίο παραπέμπει στις εγκαταστάσεις τυχερών παιχνιδιών που υπάρχουν στην πόλη του Monte Carlo και το οποίο πρότεινε σαν έναν γενικό όρο για αριθμητικές μεθόδους που χρησιμοποιούν δειγματοληψίες τυχαίων αριθμών.
Από τότε οι μέθοδοι Monte Carlo χρησιμοποιούνται συχνότατα και σε ευρύτατη από κάθε άποψη κλίμακα. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε ότι σύμφωνα με το U.S.A. Department of Energy οι προσομοιώσεις Monte Carlo έχουν συστηματικά καταναλώσει την μισή από την συνολική υπολογιστική δύναμη όλων των υπερυπολογιστών που διέθετε ή διαθέτει. Χρησιμοποιούνται προφανώς για την λύση μιας πληθώρας σημαντικών προβλημάτων αλλά όχι τόσο συχνά για εφαρμογές που εμπλέκουν γραμμικές ΔΕΜΠ. Θεωρούνται δε γενικώς σαν μέθοδοι ανάγκης (last resort) ιδανικά κατάλληλες μόνον για προβλήματα σε πολλές διαστάσεις ή σε χωρία με περίπλοκη γεωμετρία. Ενδεδειγμένη είναι στο σημείο αυτό η εξής ρήση του πρωτοπόρου των μεθόδων Monte Carlo Mark Kac's «You use Monte Carlo methods until you understand the problem» η οποία παρόλο που διατυπώθηκε πριν πολλές δεκαετίες περιγράφει την κυρίαρχη θεώρηση πολλών συναδέλφων για τις μεθόδους Monte Carlo ακόμα και σήμερα.
Προβλήματα που εμπλέκουν ΔΕΜΠ έχουν συσχετιστεί με την έννοια Monte Carlo με πολλούς τρόπους. Για παράδειγμα, η γνωστή εξίσωση Feynman-Kac καθιέρωσε έναν ενδιαφέροντα σύνδεσμο μεταξύ ΔΕΜΠ και στοχαστικών διαδικασιών. Οι μέθοδοι Monte Carlo υπήρξαν στο παρελθόν, και σε μεγάλο βαθμό παραμένουν, η μόνη υπολογιστική επιλογή για αρκετά μη-γραμμικά προβλήματα ενώ παράλληλα αναγνωρίζονται σαν μια καλή επιλογή για πολλά άλλα δύσκολα, από την άποψη των υπολογισμών, μη-γραμμικά προβλήματα. Επιπρόσθετα, φαίνεται να αποτελούν μια λογικά προφανή επιλογή για κάθε διαφορική εξίσωση της οποίας ένας ή περισσότεροι όροι είναι στοχαστικές διαδικασίες, όποτε και η συνεπαγόμενη λύση είναι και αυτή με την σειρά της μια στοχαστική διαδικασία. Το γεγονός αυτό συνάδει ξεκάθαρα με την πληθώρα των εξαιρετικών πολύ πρόσφατων ερευνητικών προσπαθειών που βασίζονται αποκλειστικά σε μεθόδους Monte Carlo για την αριθμητική επίλυση τέτοιων εξισώσεων που είναι γνωστές σαν στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις.
Όπως έχει ήδη επισημανθεί, ακόμα και οι γραμμικές ΔΕΜΠ είναι στενά συνδεδεμένες με την στοχαστικότητα. Για παράδειγμα, είναι γεγονός ότι η διάχυση είναι στην ουσία μια μορφή κίνησης Brown σε μικροσκοπική κλίμακα. Υπήρχε λοιπόν ουσιαστικό κίνητρο το οποίο οδήγησε συναδέλφους σε διαδοχικές προσπάθειες που αφορούσαν την ανάπτυξη και την διάδοση αριθμητικών επιλυτών τύπου Monte Carlo για ΔΕΜΠ εξαρτώμενες από τον χρόνο. Διάφορα γραμμικά, μη-στοχαστικά ελλειπτικά προβλήματα συνοριακών τιμών είναι επίσης στενά με την γενικότερη πιθανοθεωρητική περιοχή. Τέλος αξίζει να σημειωθεί πως υπάρχουν αρκετές πρόσφατες ερευνητικές προσπάθειες που αφορούν πιθανοθεωρητικές ερμηνείες της αρμονικότητας καθώς και θεμελιωδών ΔΕΜΠ ελλειπτικού τύπου χρησιμοποιώντας κίνηση Brown και στοχαστικό λογισμό (calculus)).
Αξίζει τέλος να τονίσουμε ότι παρ’ όλες τις σχετικά σημαντικές παλαιότερες αλλά και πρόσφατες σχετικές ερευνητικές προσπάθειες, οι προτεινόμενες μέθοδοι δεν έχουν ακόμα ελκύσει την αναμενόμενη γενικότερη προσοχή. Σημαντικό είναι να σημειώσουμε το γεγονός ότι ελάχιστα σχετικά λογισμικά συστήματα υπάρχουν διαθέσιμα. Η αναζήτηση για παράδειγμα στην βιβλιογραφία του ACM Transaction on Mathematical Software με λέξη κλειδί τον όρο «Monte Carlo» μας επέστρεψε μόνον 10 σχετικές αναφορές.
