Η αριθμητική επίλυση ΜΔΕ περιλαμβάνει δύο βασικά βήματα: την διακριτοποίηση της ΜΔΕ και την επίλυση του αναδυόμενου συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων. Δύο βασικές κατηγορίες μεθόδων διακριτοποίησης για ΜΔΕ είναι οι μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών (ΜΠΔ) και οι μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ).
Η μέθοδος collocation ανήκει στην κατηγορία ΜΠΣ αλλά έχει κάποια χαρακτηριστικά παρόμοια με αυτά των ΜΠΔ. Εν συγκρίσει με τις ΜΠΔ έχει, όπως κάθε ΜΠΣ, το πλεονέκτημα ότι οι τιμές της προσεγγιστικής λύσης και των παραγώγων της υπολογίζονται εύκολα σε οποιοδήποτε σημείο του πεδίου του προβλήματος. Εν συγκρίσει με τις ΜΠΣ έχει το πλεονέκτημα ότι για την εφαρμογή της δεν χρειάζεται υπολογισμός ολοκληρωμάτων, και απαιτείται ο υπολογισμός μόνο μιας τιμής των συναρτήσεων συντελεστών ανά δεδομένο σημείο.
Δύο είναι οι βασικές κατηγορίες collocation: η ορθογώνια collocation με τμηματικά πολυώνυμα και οι αναφορές που περιλαμβάνει, και η collocation με τμηματικά πολυώνυμα μεγίστου βαθμού συνέχειας, δηλ. splines. Η ορθογώνια collocation χρησιμοποιεί τμηματικά πολυώνυμα συνέχειας Cm-1 και βαθμού m+k-1, για προβλήματα m τάξεως, και k σημεία ανά υποδιάστημα (kd σε d διαστάσεις), καταλήγοντας σε προσέγγιση τάξεως m+k (σε ορισμένα σημεία η τάξη ανέρχεται σε 2k). Αυτή η μέθοδος έχει μελετηθεί σε βάθος για προβλήματα με συνεχείς συντελεστές. Εφαρμόζεται ευρέως σε προβλήματα οποιασδήποτε τάξεως με συνεχείς συντελεστές, με τμηματικά πολυώνυμα οποιουδήποτε βαθμού, και με ανομοιόμορφα και προσαρμοστικά πλέγματα. Η collocation με splines έχει αναπτυχθεί για περιορισμένους βαθμούς splines (π.χ. 2, 3, 4 και 5), και περιορισμένη τάξη προβλημάτων συνεχών συντελεστών (π.χ. 2 και 4). Επίσης η εφαρμογή της ώστε να επιτευχθεί η μέγιστη τάξη προσέγγισης δεν είναι απλή: απαιτεί προσεκτική ανάπτυξη κάποιων τελεστών διατάραξης του προβλήματος. Η δε χρήση ανομοιόμορφων και προσαρμοστικών πλεγμάτων αναπτύχθηκε μόνο πρόσφατα και μόνο για τετραγωνικές και κυβικές splines. Όμως η collocation με splines έχει κάποια σημαντικά πλεονεκτήματα σε σχέση με την ορθογώνια, μεταξύ των οποίων είναι ότι χρειάζεται μόνο ένα σημείο ανά υποδιάστημα τόσο στην μια διάσταση όσο και σε περισσότερες διαστάσεις, και ότι καταλήγει σε γραμμικό σύστημα μικρότερου μεγέθους, περισσότερο αραιό και με ορισμένες επιθυμητές ιδιότητες, όπως διαγώνια κυρίαρχος πίνακας, κ.α.
Πρόσφατα η collocation με τετραγωνικές splines αναπτύχθηκε για παραβολικά προβλήματα σε μία διάσταση στον χώρο. Η μέθοδος αποδεικνύεται αποδοτική, δεδομένου ότι απαιτεί την επίλυση μόνο ενός τριδιαγώνιου γραμμικού συστήματος ανά χρονικό βήμα. Η μέθοδος εφαρμόστηκε μάλιστα σε προβλήματα υπολογισμού τιμής παραγώγων του χρηματιστηρίου, όπως American options, σε συνδυασμό με προσαρμοστικές μεθόδους πλέγματος και αποδείχθηκε ιδιαίτερα επιτυχής.
Επιπλέον επισημαίνεται ότι για τα γραμμικά συστήματα που προέρχονται από διακριτοποίηση ΜΔΕ με ορθογώνια ή spline collocation έχουν αναπτυχθεί ταχείς μέθοδοι επίλυσης από τις ερευνητικές ομάδες που συμμετέχουν στην παρούσα πρόταση, όπως για παράδειγμα βέλτιστες μέθοδοι χαλάρωσης, προρρυθμισμένες επαναληπτικές μέθοδοι, πολυπλεγματικές  μέθοδοι, FFT μέθοδοι και έχουν υλοποιηθεί οι αντίστοιχοι αλγόριθμοι σε σύγχρονες υπολογιστικές αρχιτεκτονικές (κοινής και διανεμημένης μνήμης παράλληλα υπολογιστικά συστήματα, Clusters, VLSI, κ.λ.π.).
Όμως, παρά του ότι έχει γίνει ενδελεχής μελέτη της μεθόδου collocation σε προβλήματα με συνεχείς συντελεστές, το αντίστοιχο δεν είναι καθόλου αληθές για προβλήματα με ασυνεχείς συντελεστές ή προβλήματα με απότομη αλλαγή συμπεριφοράς της λύσης σε ορισμένα τμήματα του πεδίου. Συνεπώς η παραγωγή σχετικών αποτελεσμάτων αποτελεί κίνητρο της παρούσας πρότασης.

Επιστροφή